Van je vouwtjes kun je leren (of: hoe origami helpt om wiskunde te begrijpen)

‘Vouw eerst een bakje zoals je op de basisschool geleerd hebt’, geeft docent Jacoliene van Wijk haar leerlingen de opdracht. 

Vandaag leert klas 6 vwo van het Goois Lyceum in Bussum, een groep bijna-volwassenen, wiskunde B door bakjes te vouwen. Allemaal krijgen ze een vierkant blaadje van 21 bij 21 centimeter. Hun schrift mogen ze deze les in hun tas laten, zegt Van Wijk, want ook schrijven doen ze op dat blaadje.

Ik krijg ook een blaadje. Ik maak één vouwtje, maar dat is meer een foutje.

Zo. Nu die grap is gemaakt en mijn blaadje verprutst, heb ik alle tijd om wat beter om me heen te kijken.

De leerlingen uit 6V gaat het doosjesvouwen een stuk beter af. Vanachter in de klas zie ik leerlingen vierkante en rechthoekige bakjes vouwen, bakjes met lage randen en juist eentje met een heel hoge rand.

‘Bereken nu de inhoud van je doosje’, instrueert Van Wijk wanneer de doosjes gevouwen zijn. Geen moeilijke opgave, want dat is lengte keer breedte keer hoogte – dat weten deze leerlingen allang. Ze roepen hun antwoorden door de klas en Van Wijk, niet afgeleid door deze constructieve drukte, schrijft mee op het bord. 

Gijs 17 * 17 * 2 = 578 cm³

Johan 13 * 10 * 5 = 650 cm³

Viviane 16 * 16 * 3 = 768 cm³

Wat blijkt dus? Hoewel leerlingen allemaal een even groot blaadje hebben gekregen, verschilt de inhoud van de doosjes die ze hebben gevouwen.

Huh?!

‘Vandaag gaan we het hebben over optimaliseren’, licht Van Wijk toe.

Wie is er bang voor de grote boze wiskunde?

Geen vak verdeelt leerlingen zo sterk als wiskunde. Sommigen maken al die sommen met het grootste plezier, anderen hebben geen idee wat ze eigenlijk aan het doen zijn en steken al hun vrije tijd in leren voor magere zesjes. 

‘Ik snapte het gewoon niet en ik heb nooit goed begrepen waaróm ik het niet snapte’, schreef journalist Brigit Kooijman onlangs in een prachtig artikel in NRC. Daarin zoekt ze 45 jaar na dato haar oud-wiskundeleraar – inmiddels 88 jaar oud – op om te zien of ze al die wiskunde waar ze vroeger zo bang voor was nu dan wel zou begrijpen. 

‘In het algemeen ging leren me vlot af’, schrijft Kooijman. ‘Met rekenen kon ik aardig meekomen, en, al blonk ik er niet in uit, natuur- en scheikunde leverden geen al te grote problemen op. Maar voor wiskunde moest ik elk jaar keihard werken om op mijn eindrapport een vier te halen, anders zou ik niet overgaan.’

Kooijman is niet de enige met wat in de wetenschap math anxiety heet. Die angst zou iets te maken kunnen hebben met de manier waarop kinderen op school wiskunde aangeleerd krijgen. Abstract, los van de werkelijkheid, door veel je hoofd te gebruiken en weinig je lichaam.

Het idee is simpel: werk van het concrete naar het abstracte

Maar niet in de klas van Van Wijk, waar leerlingen net de inhoud van het door henzelf gevouwen doosje hebben berekend. Nu krijgen ze de opdracht om een formule op te stellen. Daarmee moeten ze kunnen berekenen wat de maximale inhoud van een doosje is dat ze met een stuk papier van dit formaat kunnen vouwen.

James (17) vindt het prettig om te vouwen, vertelt hij me. Hij laat me zijn bakje zien, dat hij inmiddels weer heeft uitgevouwen en waar hij op geschreven heeft. Door te vouwen, ziet hij wat de formule p + 2a = 21 eigenlijk betekent. Die twee a’s zijn de stroken aan de zijkant, die p is het middenvlak.

James: ‘Ik kan met zekerheid zeggen dat ik daar niet op was gekomen als we daar niet bij hadden gevouwen. Eén zijde “a” noemen en één zijde “p” noemen helpt heel erg als je het bakje uitvouwt en vervolgens in 2D bekijkt. Anders zou je het in je hoofd moeten berekenen, en meteen in de diepte moeten gaan denken. Dat is allemaal een stuk moeilijker.’

Ook zijn buurman Jules (17) vindt vouwen ‘wel informatief’, omdat hij ‘er een beeld bij krijgt’. ‘Ik zag gelijk dat ik twee formules heb om mee te werken. Lengte keer breedte keer hoogte, en p + a + a = 21.’

Na de les spreek ik Van Wijk over haar hands-on methode om leerlingen van hun vouwtjes te laten leren.

De strijd tegen de lege schriften

Van Wijk begon met vouwen in de klas om wat ze ‘de strijd tegen de lege schriften’ noemt; leerlingen die het lesboek wel voor zich hebben, maar gewoon niet beginnen met sommen maken. Bijvoorbeeld omdat ze niet weten waar te beginnen, of het gevoel hebben dat ze het toch niet kunnen.

In een buitenschools klasje voor getalenteerde leerlingen deed ze allemaal gave dingen, zoals vouwen. Ze vond dat ook de leerlingen in haar ‘gewone’ klas meer verdienden dan alleen maar oefeningen maken uit het lesboek.

Bovendien: Van Wijk promoveert aan de Universiteit Utrecht op mastering mathematics with origami.

Het idee daarachter is simpel: werk van het concrete naar het abstracte. Want waar op school weinig aandacht voor is, is dat al die formules – al die x’jes en y’tjes en p’s en q’s in het lesboek – abstracties zijn van de tastbare realiteit. Dat zo’n ‘p’ dus de lengte is van het middenvlak van een doosje en ‘a’ de lengte van de opstaande rand, zoals James me net heeft laten zien. 

Dat we het een nu ‘p’ noemen en het ander ‘a’ komt doordat de wiskundetaal door de jaren heen steeds een stukje abstracter werd, en daarmee dus steeds iets minder tastbaar.

Ooit telden mensen door te turven, en later gingen mensen ook tellen met steentjes, stukjes bot en kraaltjes. Pas zo’n 2.500 jaar geleden werden in India de cijfers 1 tot en met 9 ‘uitgevonden’, en via de Arabische wereld naar Europa gebracht. Het getal 0 – hier kan ik met m’n verstand zelf nauwelijks bij – werd pas minstens 1.800 jaar geleden ontdekt, ook in India, en dat maakte het een stuk makkelijker om te rekenen. Ook breuken, wortels en formules zijn allemaal op enig moment in de geschiedenis uitgevonden, maar daar staan we niet meer bij stil.

Van Wijk: ‘Op een gegeven moment staat alles op schrift en denk je dat je alles in taal kan overbrengen. Dat komt natuurlijk ook door de opkomst van papier – maar hoe lang hebben wij nou papier? De oude Grieken stonden de hele dag gewoon lekker met een stokje in het zand te spelen, à la Montessori-zandbakken. Die waren met hun hele lijf cirkels aan het tekenen.’

Onderzoek laat zien dat mensen abstracties juist veel beter begrijpen wanneer die concreet worden gemaakt.^* Wanneer p + 2a dus gewoon de zijkant van een doosje is dat je net hebt gevouwen.

Van Wijk: ‘Het idee is dat je veel meer zintuigen inschakelt dan je normaal doet als je een som maakt. Wanneer je hebt gevoeld en gekeken, zit de kennis veel meer in je lijf. Daarmee beklijft de kennis ook beter dan wanneer je alleen maar een sommetje leest in het boek en dan gaat schrijven.’

Ook in de wiskundetaal zelf zit veel beweging, weet Van Wijk. ‘Een grafiek “stijgt”, een lijn loopt “omhoog”, een limiet “gaat naar oneindig”, iets “nadert” 0. En je moet mij eens zien bewegen voor de klas. Ik kan geen “sinus” zeggen zonder…’ 

Van Wijk maakt een golvend gebaar met haar armen.

Wat is hier zo nieuw aan?

Mensen begrijpen abstracte begrippen dus beter wanneer die een basis hebben in hun zintuigen en bewegingen. Nieuw is dat inzicht niet.

Een van de boeken die Van Wijk gebruikt om ideeën voor vouwoefeningen uit te halen, komt uit 1902. En het Nederlandse echtpaar Pierre en Dina van Hiele bedacht in de jaren vijftig de vooral in het buitenland populaire ‘Van Hiele-niveaus’. De Van Hieles gingen ervan uit dat het verwerven van vaardigheden via verschillende niveaus verloopt, en dat een kind pas naar een volgend niveau kan als hij het niveau daarvoor heeft doorlopen. Van Wijk: ‘Niveau 0 is dat een kind tactiel bezig is, dat het met blokken speelt, frutselt met papier.’

Al dat oppervlakkige, talige leren kan angstig maken

Wat wél nieuw is, is dat neurowetenschappers zich er afgelopen jaren mee bezig zijn gaan houden. Zij zien dat er bij mensen die niet alleen abstracte, maar ook veel concrete kennis over een onderwerp hebben iets anders gebeurt in de hersenen wanneer ze iets nieuws over dat onderwerp moeten leren.

Wanneer professionele muzikanten bijvoorbeeld over een nieuw instrument moeten leren, wordt ook het deel van hun hersenen actief dat in actie komt wanneer mensen een geluid horen. Bij leken niet. ‘Wij gaan ervan uit dat een basis in ervaringen noodzakelijk is voor een diep begrip van abstracte concepten, terwijl kennis oppervlakkig is als deze alleen gebaseerd is op verbale instructie’, schrijven onderzoekers.^*

Al dat oppervlakkige, talige leren kan angstig maken. Op die manier maken leerlingen niet alleen fouten omdat ze de stof niet goed beheersen, maar hebben ze ook weinig begrip van wat ze eigenlijk (fout) aan het doen zijn – waardoor ze er ook moeilijk van kunnen leren. Zo blijft wiskunde abracadabra.

Natuurlijk staat er in wiskundeboeken niet alleen maar ‘verbale instructie’. Die boeken staan vol plaatjes, bijvoorbeeld van gevouwen doosjes. Vaak worden sommen in ‘realistische’ verhaaltjes gegoten. Zo proberen methodemakers wiskunde toch een beetje minder abstract te maken. 

Zonde, vindt Van Wijk, want plaatjes en verhaalsommen zijn toch echt iets anders dan iets zelf ervaren. 

Van Wijk heeft dit schooljaar wel geleerd dat ze de stap tussen het concrete en het abstracte niet te groot moet maken. Dan haken leerlingen af. ‘Tussen het vouwen en het opstellen van een formule, tussen het doen en het wiskundig verklaren, moet een soort verwondering zitten. ‘Zo van: “Huh?!” Zo probeer ik mijn oefeningen in te richten: iets doen, iets ontdekken, en dan op zoek naar een wiskundige verklaring.’

Wie heeft er tijd om te vouwen?

Als het zo duidelijk is dat leerlingen baat hebben bij leren door middel van zintuiglijke en motorische ervaringen, waarom gebeurt dat dan niet veel vaker?

Eerder hoorde ik daar van een onderzoeker, Anna Shvarts, een verklaring voor die me bij is gebleven – al zei ze er zelf bij dat het ‘pure speculatie’ was. Haar hypothese: het waren de oorlogen van de twintigste eeuw die ertoe leidden dat mensen zo veel pijn in hun lichaam voelden, dat het voor hen onmogelijk werd om al te gericht te zijn op het lichaam. Het lichaam raakte in de cognitiewetenschap buiten beeld, en dat droeg bij aan de beperkte aandacht voor het lichaam in het klaslokaal.

Van Wijk heeft een praktischere verklaring. Ze denkt dat het vooral aan een enorme efficiëntieslag te wijten is dat het lichaam er bekaaid van afkomt in het onderwijs. Ze pakt de blaadjes van haar leerlingen erbij en laat zien dat ze verschillende letters hebben gebruikt om de verschillende zijden van het vouwblaadje te benoemen. Wat de een ‘p’ heeft genoemd, heet bij de ander ‘a’ of ‘q’. Van Wijk is er heel blij mee, want het betekent dat alle leerlingen zelf hebben nagedacht, en welke letter ze gebruiken maakt toch niet uit. ‘Maar het is natuurlijk lekker makkelijk als alle leerlingen dezelfde zijde ‘x’ noemen.’

En voor lekker makkelijk is ook iets te zeggen. ‘Ik heb deze leerlingen drie keer vijftig minuten per week. Vandaag maar veertig minuten, want we hebben een verkort rooster. Gisteren viel uit, want toen hadden we een studiedag. Wie heeft er nog tijd om een uur met leerlingen te gaan vouwen?’

Geen gekke verklaring. Wie wiskunde minder abstract wil maken, stuit vanzelfsprekend op heel concrete problemen.